已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC1A1；(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

Question

已知三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 的侧棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA ₁ =2，AC=1，M，N分别是A ₁ B ₁ ，BC的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC ₁ A ₁ ；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

Answer 1

依条件可知AB，AC，AA 1 两两垂直，如图， 以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz， 根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)， C(-1，0，0)，A 1 (0，0，2)， ， ， (Ⅰ)证明：∵ 是平面ACC 1 A 1 的一个法向量， 且 ，所以 ， 又∵ 平面ACC 1 A 1 ， ∴MN∥平面ACC 1 A 1 。 (Ⅱ)设 n =（x，y，z）是平面AMN的法向量， 因为 ， 由 ，得 ， 解得平面AMN的一个法向量为 n =（4，2，-1）， 由已知，平面ABC的一个法向量为 m =（0，0，1）， ， ∴二面角M-AN-B的余弦值是 。