如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

解法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，
∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．
∴EF∥AG，
∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．
∴EF∥平面SAD．

（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角
∴tan∠DMH=(DH)/(HM)=√(2)．
∴cos∠DMH=(√(3))/(3)
∴二面角A-EF-D的余弦值为(√(3))/(3)．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，(a)/(2)，0），F（0，(a)/(2)，(b)/(2)），
∴

EF

＝(−a，0，(b)/(2))．
取SD的中点G（0，0，(b)/(2)），则

AG

＝(−a，0，(b)/(2))．
∴

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．
（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：（1）建立空间直角坐标系，证明

EF

＝

AG

，可得EF∥AG，从而EF∥平面SAD．
（2）利用

MD

和

EA

的夹角等于二面角A-EF-D的平面角，根据向量的夹角公式，即可求得结论．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查向量知识的运用，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．

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