（2010•肥城市模拟）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．（Ⅰ）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点D满足BD＝BA+BC，在直线AA1上是

Question

（2010•肥城市模拟）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足

BD

＝

BA

+

BC

，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=√(3)，BO⊥AC．（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A（0，-1，0），B（√(3)，0，0），A₁（0，0，√(3)），
C（0，1，0），

AA1

＝(0，1，√(3))；
∴

A

B

1

＝(√(3)，2，√(3))，

AC

＝(0，2，0)．（4分）
设平面AB₁C的法向量为n=（x，y，1）
则

n•

A

B

1

＝√(3)x+2y+√(3)

n•

AC

＝2y＝0

解得n=（-1，0，1）．（6分）
由cos＜

AA1

，n＞=(AA1•n)/(|AA1|•|n|)＝(√(3))/(2√(2))＝(√(6))/(4)．
而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，
即是向量

AA1

与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小为(√(6))/(4)．（6分）

（Ⅱ）∵

BD

＝

BA

+

BC

，
而

BA

＝(−√(3)，−1，0)，

BC

＝(−√(3)，1，0)．
∴

BD

＝(−2√(3)，0，0)．（8分）
又∵B（√(3)，0，0），∴点D的坐标为D（-√(3)，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．
∴

DP

＝(√(3)，y，z)
∵DP∥平面AB₁C，n=（-1，0，1）为平面AB₁C的法向量，
∴由

AP

＝λ

AA1

，得

y+1＝λ

√(3)＝λ√(3)

，∴y＝0．（11分）
又DP⊄平面AB₁C，
故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，√(3)），即恰好为A₁点．（12分）