已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA1与底面相邻两边都成60°．（1）求证：侧面CC1B1B是矩形；（2）求这个棱柱的侧面积．

Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA₁与底面相邻两边都成60°．

（1）求证：侧面CC₁B₁B是矩形；
（2）求这个棱柱的侧面积．

Answer 1

（1）∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm
∴如图所示：
AO⊥面A₁B₁C₁，
连接A₁O延长交B₁C₁，
∵边长为4cm的正三角形，侧棱AA₁与底面相邻两边都成60°，
∴E为B₁C₁中点，∠EA₁C₁=30°，
有三角形的性质得出：EA₁⊥B₁C₁，AO⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥面A₁AO，
∴AA₁⊥B₁C₁，
∴S矩形B₁BCC₁的面积为3×4=12
（2）S 平行四边形AA1C1C=S 平行四边形AA1B1B=4×3×sin60°=6√(3)，
∴这个棱柱的侧面积为：12+12√(3)．