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直三棱柱ABC-A1B1C1AC=BC=1/2AA1D是棱AA1的中点DC1垂直BD
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直三棱柱ABC-A1B1C1AC=BC=1/2AA1D是棱AA1的中点DC1垂直BD
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴CC1⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC1=C,AC、CC1?平面ACC1A1
∴BC⊥平面ACC1A1
∵D1C?平面平面ACC1A1,∴DC1⊥BC；…（5分）
（II）∵AC=BC=12AA1,∴令AC=a,Rt△ACD中,CD=AC2+AD2=2a
同理可得C1D=2a,结合CC1=2a得CD2+C1D2=CC12
∴△CC1D是以CC1为斜边的直角三角形,即CD⊥C1D…（8分）
∵BC⊥平面ACC1A1,C1D?平面ACC1A1,∴BC⊥C1D
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线,∴C1D⊥平面BCD…（11分）
∵BD?平面BCD,∴C1D⊥BD
因此,∠BDC就是二面角B-DC1-C的平面角…（13分）
Rt△BDC中,DC=2a,BC=a,BD=3a
∴cos∠BDC=DC BD=63,即二面角B-DC1-C的余弦值等于63…（15分）
∴CC1⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC1=C,AC、CC1?平面ACC1A1
∴BC⊥平面ACC1A1
∵D1C?平面平面ACC1A1,∴DC1⊥BC；…（5分）
（II）∵AC=BC=12AA1,∴令AC=a,Rt△ACD中,CD=AC2+AD2=2a
同理可得C1D=2a,结合CC1=2a得CD2+C1D2=CC12
∴△CC1D是以CC1为斜边的直角三角形,即CD⊥C1D…（8分）
∵BC⊥平面ACC1A1,C1D?平面ACC1A1,∴BC⊥C1D
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线,∴C1D⊥平面BCD…（11分）
∵BD?平面BCD,∴C1D⊥BD
因此,∠BDC就是二面角B-DC1-C的平面角…（13分）
Rt△BDC中,DC=2a,BC=a,BD=3a
∴cos∠BDC=DC BD=63,即二面角B-DC1-C的余弦值等于63…（15分）
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