如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．

（Ⅰ）证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（I）连接DE，
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE

∥

.

(1)/(2)AC，
∵F是A₁C₁的中点，∴A₁F=(1)/(2)A₁C₁，
又AC

∥

.

A₁C₁，
∴A₁F

∥

.

DE，
∴四边形A₁DEF是平行四边形，
∴EF∥A₁D，又EF⊄平面A₁CD，A₁D⊂平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（II）过B作BM⊥A₁D交延长线于M，连接CM，
∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，
又A₁A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴A₁A⊥CD，
∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，
∴CD⊥BM，又CD⊂平面A₁CD，A₁D⊂平面A₁CD，CD∩A₁D=D，
∴BM⊥平面A₁CD，
∴∠BCM为直线BC与平面A₁CD所成的角，
设直三棱柱棱长为1，则BM=(√(5))/(5)，
∴sin∠BCM=(BM)/(BC)=(√(5))/(5)．