已知曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C1上�已知曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立

Question

已知曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C1上�
已知曲线C₁的直角坐标方程为(x2)/(4)+y²=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C₁上一点，∠xOP=α（0≤α≤π），将点P绕点O逆时针旋转角α后得到点Q，

OM

=2

OQ

，点M的轨迹是曲线C₂，
（1）求曲线C₂的极坐标方程；
（2）求|OM|的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为(ρ2cos2θ)/(4)+ρ²sin²θ=1，即(cos2θ)/(4)+sin²θ=(1)/(ρ2)．
在极坐标系中，设M（ρ，θ），P（ρ₁，α），
由题意可知，ρ₁=(ρ)/(2)，α=(θ)/(2)．①
∵点P在曲线C₁上，
∴(cos2θ)/(4)+sin²α=(1)/(ρ21)．②
由①②得曲线C₂的极坐标方程为(1)/(ρ2)=(cos2(θ)/(2))/(16)+(sin2(θ)/(2))/(4)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
(1)/(|OM|2)=(1)/(16)（1+3sin²(θ)/(2)）．
∵(1)/(|OM|2)的取值范围是[(1)/(16)，(1)/(4)]，
∴|OM|的取值范围是[2，4]．