已知曲线C1的参数方程为x=acosθy=bsinθ（a>b>0，θ为参数），且曲线C1上的点M(1，32)对应的参数θ=π3，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1

Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=acosθ

y=bsinθ

（a>b>0，θ为参数），且曲线C₁上的点M(1，(√(3))/(2))对应的参数θ=(π)/(3)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M₁、M₂的极坐标分别为(1，(π)/(2))和（2，0），直线M₁M₂与曲线C₂交于P、Q两点，射线OP与曲线C₁交于点A，射线OQ与曲线C₁交于点B，求(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)的值．

Answer 1

（1）

1=acos(π)/(3)

y=bsin(π)/(3)

⇒

a=2

b=1

⇒C1：(x2)/(4)+y2=1
因此C₁的极坐标方程为(ρ2cos2θ)/(4)+ρ2sin2θ=1C2：x2+y2=2y
（2）M₁（0，1），M₂（2，0）⇒M₁M₂：x+2y-2=0
恰好过C2：x2+y2=2y的圆心，∴OP⊥OQ⇒OA⊥OB，
∴A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+(π)/(2))
分别代入(ρ2cos2θ)/(4)+ρ2sin2θ=1中，
∴(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)=(1)/(ρ21)+(1)/(ρ22)=(cos2θ)/(4)+sin2θ+(sin2θ)/(4)+cos2θ=(5)/(4)．