设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，X2，…Xn是X的一个样本．（Ⅰ）求θ的矩估计和最大似然估计．（Ⅱ）试求最大似然估计的期望．

Question

设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X₁，X₂，…X_n是X的一个样本．
（Ⅰ）求θ的矩估计和最大似然估计．
（Ⅱ）试求最大似然估计的期望．

Answer 1

（Ⅰ）因为总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，因此
E(X)＝(θ)/(2)，
所以θ的矩估计为θ矩＝2

.

X

；
又f(xi，θ)＝

(1)/(θ)，0≤xi≤θ

0，其他

，
所以似然函数L(θ)＝

(1)/(θn)，0≤xi≤θ

0，其他

而(dlnL(θ))/(dθ)＝−(n)/(ϑ)＜0，
所以L（θ）关于θ是减函数．
所以θ的最大似然估计为
θ_最大=max（X₁，…X_n）．
（Ⅱ）E（θ_最大）=E（max（X₁，…X_n）），令Y=max（X₁，…X_n），则
FY(y)＝P(max(X1，…Xn)≤y)＝P(X1≤y，…Xn≤y)＝FX1(y)…FXn(y)
而当0≤y≤θ，FX1(y)=

∫

y 0

f(x1，θ)dx1＝(y)/(θ)，
所以FX