已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且（a2-b2）+（a-b）=0（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的

Question

已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且（a²-b²）+（a-b）=0 

（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

Answer 1

（1）△ABO为等边三角形，理由为：
∵（a²-b²）+（a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）=0，
∴a-b=0，得到a=b，即AO=AB，
∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴∠AOB=150°-90°=60°，
∴△AOB为等边三角形；
（2）在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM，
∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=90°，∠ABO=60°，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD=∠OBD=45°，
∴∠ABD=105°，∠ABC=150°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠AEB=60°，
在△ABE和△CBM中，

AB＝CB

∠BAE＝∠BCM

AE＝CM

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE=EM，
∴AE=AM+EM=CE+BE；
（3）AP=2AO，理由为：
证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，
∴BE=BG，AB=OB，∠EBG=∠OBA=60°，
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA，即∠ABG=∠OBE，
在△ABG和△OBE中，

AB＝OB

∠ABG＝∠OBE

BE＝BG

，
∴△ABG≌△OBE（SAS），
∴∠BAG=∠BOE=60°，
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°，
∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP=90°，
∴∠APO=30°，
在Rt△AOP中，∠APO=30°，
则AP=2AO．