已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范围是

Question

已知F1，F2分别是椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF ₁ 的垂直平分线过点F ₂ ，则离心率的范围是______．

Answer 1

由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（ (a2)/(c) ，m），则由中点公式可得线段PF ₁ 的中点
K（ (a2 - c2)/(2c) ， (m)/(2)  ），∴线段PF ₁ 的斜率与 KF ₂ 的斜率之积等于-1，∴ (m-0)/((a2)/(c)+c) • ((m)/(2)-0)/((a2 - c2)/(2c)-c) =-1，
∴m ² =-（ (a2)/(c) +c）•（ (a2)/(c) -3c ）≥0，∴a ⁴ -2a ² c ² -3 c ⁴ ≤0，
∴3e ⁴ +2e ² -1≥0，∴e ² ≥ (1)/(3) ，或 e ² ≤-1（舍去），∴e≥ (3)/(3) ．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故   (3)/(3) ≤e＜1，故答案为[ (3)/(3) ，1）．