如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）

Question

如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=(4)/(5)，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

Answer 1

（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB•cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC=√(AH2+CH2)=5，
∴此时CP=r=5；

（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM=CM=(5)/(2)，
由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE=(CM)/(cos∠ACB)=(25)/(8)，
∴EF=2√(((25)/(8))2−32)=(7)/(4)；

（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，
∵(BQ)/(AB)=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵cosB=(4)/(5)，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴(AE)/(CB)=(AG)/(BG)，即(AE)/(8)=(AE)/(AE+5)，
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=√(EN2+CN2)=√(32+12)=√(10)．