椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率.

Question

椭圆 的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求直线 的斜率.

Answer 1

椭圆 的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求直线 的斜率.

（Ⅰ）由已知 ， ，…………………2分
又 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .…………………4分
（ⅱ）当 或 为直角时，不妨设 为直角，
此时， ，所以 ，即 ………①，……10分
又 ………②，
将①代入②，消去 得 ，解得 或 （舍去），…11分
将 代入①， 得 ，
所以 ，………………12分
经检验，所求 值均符合题意，综上， 的值为 和

略