已知椭圆C的长轴长是短轴长只差是2根号2-2,且右焦点F到此椭圆的一个短轴端点的的距离为√2,点C(m,0)是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）1、求椭圆方程2、是否存在过点F且与x轴不垂直的直

Question

已知椭圆C的长轴长是短轴长只差是2根号2-2,且右焦点F到此椭圆的一个短轴端点的的距离为√2,
点C(m,0)是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）
1、求椭圆方程
2、是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交与A、B两点,使得(向量CA+向量CB)⊥向量BA?

Answer 1

(1）依题意：a-b=√2-1 a=√2
a=√2,b=1
椭圆C:x²/2+y²=1
（2） F(1,0),m∈[0,1]
设直线l：x=ty+1,与x²/2+y²=1联立消去x得：
（t²+2)y²+2ty-1=0
Δ=4t²+4（t²+2)>0
令A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点M（x',y')
则 y₁+y₂=-2t/(t²+2),y₁y₂=-1/（t²+2)
y'=(y₁+y₂)/2=-t/(t²+2),
x'=ty'+1=2/(t²+2),
∵AB中点为M
∴向量CA+向量CB=2向量CM
∵(向量CA+向量CB)⊥向量BA
∴CM⊥BA
∴KCM·KAB=-1,KAB=1/t
∴[-t/(t²+2)-0]/[2/(t²+2)-m] *1/t=-1
∴m=2/（t²+2)(#)
∵t²+2>2
∴易知：2/（t²+2)∈(0,1)
∴(#)能够成立
即符合条件的直线l存在