已知F是抛物线C：x2=4y的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C上不同的两点，l1，l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x0，y0）是l1，l2的交点．（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在

Question

已知F是抛物线C：x²=4y的焦点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为抛物线C上不同的两点，l₁，l₂分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x₀，y₀）是l₁，l₂的交点．
（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；
（2）若|PF|=2，求|AF|•|BF|的值．

Answer 1

（1）证明：抛物线C：y=(x2)/(4)，则y′=(x)/(2)，
∴切线PA的方程为y-y1=(x1)/(2)(x-x1)，即y=(x1)/(2)x-(x21)/(4)，
同理切线PB的方程为y=(x2)/(2)x-(x22)/(4)，
联立得点P((x1+x2)/(2)，(x1x2)/(4))，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0．所以x₁x₂=-4
所以点P在直线y=-1上；
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，
代入C：x²=4y得x²-4kx-4m=0．x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，所以P（2k，-m），|PF|=√(4k2+(m+1)2)=2⇒(m+1)2=4-4k2，|AF|•|BF|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+m+1)(kx2+m+1)=k2x1x2+k(m+1)(x1+x2)+(m+1)2
=-4mk²+4k²（m+1）+4-4k²=4．