请分别证明椭圆上两点间的最短距离为2a，椭圆焦半径最小值为a-c，椭圆上点到其中心距离的最大值为a

Question

请分别证明椭圆上两点间的最短距离为2a，椭圆焦半径最小值为a-c，椭圆上点到其中心距离的最大值为a

Answer 1

以焦点在x轴的椭圆为例.设方程为x²/a² +y²/b²=1 (a>b>0) ,
设 P(x,y)为椭圆是任一点,F1(-c,0)为左焦点
由于x²/a² +y²/b²=1,故可令x=a•cosθ,y=b•sinθ,θ∈[0,2π)
于是
|PF1|²=(a•cosθ+c)²+b²sin²θ
=a²cos²θ+2ac•cosθ+c²+b²sin²θ
=(b²+c²)cos²θ+2ac•cosθ+c²+b²sin²θ
=b²+c²•cos²θ+2ac•cosθ+c²
=c²•cos²θ+2ac•cosθ+a²
=(a+c•cosθ)²
所以 |PF1|=|a+c•cosθ|=a+c•cosθ
当cosθ=1时(sinθ=0),|PF1|最大为a+c,
此时,x=acosθ=a,y=bsinθ=0,即P(a,0)为长轴的右端点.
当cosθ=-1时(sinθ=0),|PF1|最小为a-c,
此时,x=acosθ=-a,y=bsinθ=0,即P(-a,0)为长轴的左端点.
注：1.P点到右焦点的情况是同理的.
2.x=a•cosθ,y=b•sinθ,θ∈[0,2π)实际上是椭圆的参数方程,用椭圆的参数方程解题,将几问题转化为三角函数,常常可使问题得到解决.