椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2,且过点（2,0）（1）求椭圆C的方程（2）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若三角形OAB为直角三角形,求m的值

Question

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2,且过点（2,0） （1）求椭圆C的方程 （2）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若三角形OAB为直角三角形,求m的值

Answer 1

（1）椭圆C过点(2,0),则a=2,又e=c/a=√3/2,故c=√3,b=√(a²-c²)＝1.故C方程为x²/4+y²＝1.
　　（2）①直角顶点是A或B时,点A或B应在直线y=-x上,联立y=-x及y=x+m得x=-m/2,y=m/2.又A,B点在椭圆上,代入椭圆方程得5m²/16＝1,解得m＝±4√5/5.验证知成立.
②直角顶点是O时,设A(x1,x2),B(x2,y2),则向量OA·OB＝x1x2+y1y2=0.
联立直线方程与椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-4＝0；5y²-2my+m²-4＝0,由韦达定理得x1x2=4(m²-1)/5,y1y2=(m²-4)/5,故x1x2+y1y2=m²-8/5＝0,m＝±2√10/5.验证知成立.
综上,m=±4√5/5或±2√10/5.