是否存在直线L当直线L交椭圆于PQ两点时,使F恰为三角形PQM的垂心,M为椭圆上顶点.求直线L方程

Question

是否存在直线L当直线L交椭圆于PQ两点时,使F恰为三角形PQM的垂心,M为椭圆上顶点.求直线L方程

Answer 1

假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
因为M（0,1）,F（1,0）,
所以kPQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,
消元可得3x2+4mx+2m2﹣2=0．
由△＞0,得m2＜3,且x1+x2=﹣ ,x1x2=．
由题意应有,
所以x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0,
所以2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0．
整理得2×﹣（m﹣1）+m2﹣m=0．
解得m=﹣或m=1．
经检验,当m=1时,△PQM不存在,故舍去．
当m=﹣时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x﹣．