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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP⊥PA,求椭圆的离心率e的取值范围.

题目详情
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP⊥PA,求椭圆的离心率e的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
作业帮 ∵∠AP0=90゜,∴点P在以AO为直径的圆上,
∵O(0,0),A(a,0),
∴以AO为直径的圆方程为x2+y2-ax=0,
联立
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2-ax=0
消去y,得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.
设P(m,n),则m+a=-
a3
b2-a2
,ma=
-a2b2
b2-a2
,可得m=
ab2
a2-b2

∵由图形得0<m<a,∴0<
ab2
a2-b2
<a,
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2
∴e2>
1
2
,∴e>
2
2

又∵e∈(0,1),
∴椭圆的离心率e的取值范围为(
2
2
,1).