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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP⊥PA,求椭圆的离心率e的取值范围.
题目详情
已知椭圆
+
=1(a>b>0)右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP⊥PA,求椭圆的离心率e的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
∵∠AP0=90゜,∴点P在以AO为直径的圆上,
∵O(0,0),A(a,0),
∴以AO为直径的圆方程为x2+y2-ax=0,
联立
消去y,得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.
设P(m,n),则m+a=-
,ma=
,可得m=
.
∵由图形得0<m<a,∴0<
<a,
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2,
∴e2>
,∴e>
.
又∵e∈(0,1),
∴椭圆的离心率e的取值范围为(
,1).

∵O(0,0),A(a,0),
∴以AO为直径的圆方程为x2+y2-ax=0,
联立
|
设P(m,n),则m+a=-
a3 |
b2-a2 |
-a2b2 |
b2-a2 |
ab2 |
a2-b2 |
∵由图形得0<m<a,∴0<
ab2 |
a2-b2 |
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2,
∴e2>
1 |
2 |
| ||
2 |
又∵e∈(0,1),
∴椭圆的离心率e的取值范围为(
| ||
2 |
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