如何证明正四面体内切球半径为此正四面体高的四分之一,

Question

如何证明正四面体内切球半径为此正四面体高的四分之一,

Answer 1

这个可以用体积法来做
设四面体ABCD,边长为1
首先求高
A做底面BCD的垂线AE,由对称性可以知道,E就是BCD的中心
延长DE交BC于F
DF=√3/2,EF=1/3DF=√3/6,AF=√3/2
所以AE=√(AF^2-EF^2)=√6/3
再求内切球半径,设球心为O,那么对称性可知O肯定在AE上
连接AO、BO、CD,将四面体分割成4个三棱锥O-ABC,O-ABD,O-ACD,O-BCD
那么VA-BCD=V O-ABC+V O-ABD +V O-ACD +V O-BCD=4V O-BCD
（因为对称性可以发现这四个体积是一样的）
所以1/3*H*S△BCD=4*1/3*h*S△BCD H是正四面体的高,h为内切球的半径
所以H=4h
可以发现,不用求高就可以得出结论了