如图，点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜，则△ABC内切圆半径r的最大值为（）A．6−23B．4−33C．6−33D．6

Question

如图，点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜，则△ABC内切圆半径r的最大值为（　　）

A．6−2√(3)
B．4−3√(3)
C．6−3√(3)
D．6

Answer 1

当点C为

AB

的中点时，△ABC内切圆半径r的最大，如图，连结OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，
∵点C为

AB

的中点，
∴OC⊥AB，AD=BD=(1)/(2)AB=6，AC=BC，
∴点M在CD上，
∴ME和MD都为⊙M的半径，
设ME=MD=r，
∵∠ACB=120゜，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，
在Rt△ACD中，CD=(√(3))/(3)AD=√(3)，
在Rt△CEM中，∠ECM=60°，∠CME=30°，
∴CE=(√(3))/(3)EM=(√(3))/(3)r，
∴CM=2CE=(2√(3))/(3)r，
∵CM+DM=CD，
∴(2√(3))/(3)r+r=√(3)，
∴r=6-3√(3)．
故选C．