在x轴同侧的两个圆：动圆C1和圆4a2x2+4a2y2-4abx-2ay+b2=0外切（a，b∈N，a≠0），且动圆C1与x轴相切，求：（1）动圆C1的圆心轨迹方程L；（2）若直线4（7-1）abx-4ay+b2+a2-6958a=0与曲线L有且仅有一个公

Question

在x轴同侧的两个圆：动圆C₁和圆4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0外切（a，b∈N，a≠0），且动圆C₁与x轴相切，求：
（1）动圆C₁的圆心轨迹方程L；
（2）若直线4（√(7)-1）abx-4ay+b²+a²-6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点，求a，b之值．

Answer 1

（1）由4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0可得(x−(b)/(2a))2+(y−(1)/(4a))2＝((1)/(4a))2，
由a，b∈N，以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，
设动圆圆心坐标为（x，y），
则有√((x−(b)/(2a))2+(y−(1)/(4a))2)=y+(1)/(4a)，
整理得到动圆圆心轨迹方程y=ax2−bx+(b2)/(4a)（x≠(b)/(2a)）．
（2）直线代入曲线，消去y得-4a²x²-4√(7)abx-（a²-6958a）=0，
由△=16×7a²b²+16a²（a²-6958a）=0，
整理得7b²+a²=6958a①
令a=7a₁，代入③可得b2+7a12=6958a₁，
再令b=7b₁，代入上式得7b12+a12=994a₁，
从而可令a=49n，b=49m代入①可得7m²+n²=142n②
对②进行配方，得 （n-71）²+7m²=71²
对此式进行奇偶分析，可知m，n均为偶数，所以7m²=71²-（n-71）²为8的倍数，
令m=4r，则112r²≤71²，∴r²≤45．
∴|r|=0，1，2，3，4，5，6
仅当|r|=0，4时，71²-112r²为完全平方数．
于是解得

a＝6272

b＝784

或

作业帮用户 2016-11-29