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关于x的函数y=2mx2+(1-m)x-1-m(m是实数),探索发现了以下四条结论:①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;②当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(13,83);③当m>0时,函数图象截x轴所

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关于x的函数y=2mx2+(1-m)x-1-m(m是实数),探索发现了以下四条结论:
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;
②当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(
1
3
8
3
);
③当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2

④当m≠0时,函数图象总经过两个定点.
请你判断四条结论的真假,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
①假命题;                    
当m=0时,y=x-1为一次函数
与坐标轴只有两个交点,
②真命题;                            
当m=-3时,y=-6x2+4x+2=-6(x-
1
3
2+
8
3

∴顶点坐标是(
1
3
8
3
),
③真命题;                                             
当m>0时,由y=0得:△=(1-m)2-4×2m(-1-m)=(3m+1)2
∴x=
m-1±(3m+1)
4m

∴x1=1,x2=-
1
2
-
1
2m

∴|x1-x2|=
3
2
+
1
2m
>
3
2

∴函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2

④真命题;                                 
当m≠0时,y=2mx2+(1-m)x-1-m=(2x2-x-1)m+x-1,
当2x2-x-1=0时,y的值与m无关
此时x1=1,x2=-
1
2

当x1=1,y=0;当x2=-
1
2
时,y2=-
3
2

∴函数图象总经过两个定点(1,0),(-
1
2
,-
3
2
).
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