关于x的函数y=2mx2+（1-m）x-1-m（m是实数），探索发现了以下四条结论：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；③当m>0时，函数图象截x轴所

Question

关于x的函数y=2mx²+（1-m）x-1-m（m是实数），探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（(1)/(3)，(8)/(3)）；
③当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于(3)/(2)；
④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．

Answer 1

①假命题；                    
当m=0时，y=x-1为一次函数
与坐标轴只有两个交点，
②真命题；                            
当m=-3时，y=-6x²+4x+2=-6（x-(1)/(3)）²+(8)/(3)，
∴顶点坐标是（(1)/(3)，(8)/(3)），
③真命题；                                             
当m>0时，由y=0得：△=（1-m）²-4×2m（-1-m）=（3m+1）²，
∴x=(m-1±(3m+1))/(4m)，
∴x₁=1，x₂=-(1)/(2)-(1)/(2m)，
∴|x₁-x₂|=(3)/(2)+(1)/(2m)>(3)/(2)，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于(3)/(2)；
④真命题；                                 
当m≠0时，y=2mx²+（1-m）x-1-m=（2x²-x-1）m+x-1，
当2x²-x-1=0时，y的值与m无关
此时x₁=1，x₂=-(1)/(2)，
当x₁=1，y=0；当x₂=-(1)/(2)时，y₂=-(3)/(2)，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（-(1)/(2)，-(3)/(2)）．