数列问题设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线y=x^2上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,……,an.已知a1=1/4,a1>a2>……>an>0.若⊙Ck（k=1,2,3……,n）都与x轴相切,且顺次两圆外切.（1）求

Question

数列问题
设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线y=x^2上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,……,an.已知a1=1/4,a1>a2>……>an>0.若⊙Ck（k=1,2,3……,n）都与x轴相切,且顺次两圆外切.
（1）求证：{1/an}是等差数列
（2）求an的表达式

Answer 1

由题意可知,⊙Cn的圆心Cn(an,an^2),半径r=an^2.(n=1,2,3,...).由两圆外切的充要条件可知,[an-a(n+1)]^2+[an^2-a(n+1)^2]^2=[an^2+a(n+1)^2]^2.(即两圆的圆心距=两圆半径的和.去括号整理可得）===》an-a(n+1)=2an*a(n+1).===>(两边同除以ana(n+1))[1/a(n+1)]-1/an=2,即数列{1/an}是首项为1/a1,公差为2的等差数列.===》1/an=(1/a1)+2(n-1)=2n+2.(n=1,2,3,...)===>an=1/(2n+2).(n=1,2,...)