如图，记抛物线y=-x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2

Question

如图，记抛物线y=-x²+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P₁，P₂，…P_n-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面积分别为S₁，S₂，…，这样就有S₁=(n2−1)/(2n3)，S₂=(n2−4)/(2n3)，…；记W=S₁+S₂+…+S_n-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）

A. (2)/(3)
B. (1)/(2)
C. (1)/(3)
D. (1)/(4)

Answer 1

由图象知S₃=(n2−9)/(2n3)，总结出规律：Sm＝(n2−m2)/(2n3)(1≤m≤n−1)，
则w=S₁+S₂+…+S_n-1=(n2−1)/(2n3)+(n2−4)/(2n3)+…+(n2−(n−1)2)/(2n3)=((n−1)n2−[1+22+…+(n−1)2])/(2n3)
=(n3−n2−((n−1)n(2n−1))/(6))/(2n3)
=(4n3+3n2−7n)/(12n3)
=(1)/(2)-(1)/(2n)-(1)/(6)+(1)/(4n)-(1)/(12n2)
=(1)/(3)-(1)/(4n)-(1)/(12n2)，
当n越来越大时，可知W最接近的常数为(1)/(3)．
故选C．