如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；（Ⅱ）若QP=QF=3，求PF的长．

Question

如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．

（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；
（Ⅱ）若QP=QF=√(3)，求PF的长．

Answer 1

（I）证明：因为PQ为圆O的切线，所以∠PFQ=∠PQE．…（1分）
又因为QM=QN，所以∠QNM=∠QMN，…（2分）
所以∠PNF=∠PMQ，…（3分）
所以△PNF∽△PMQ，…（4分）
所以(PF)/(PQ)=(NF)/(MQ)=(NF)/(NQ)，即PF•QN=PQ•NF；…（5分）
（II） 因为QP=QF=√(3)，所以∠PFQ=∠QPF．…（6分）
又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°，∠EQF=90°，…（7分）
所以∠PFQ=∠QPF=30°，∠PQF=120°，…（8分）
由余弦定理，得PF=√(3+3-2•√(3)•√(3)•(-(1)/(2)))=3．…（10分）