在抛物线y2=2px（p＞0）上分别取纵坐标为y1=-2，y2=4的两点A、B，过A、B两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线l同时与抛物线和圆x2+（y+12）2=15相切，求抛物线方程．

Question

在抛物线y²=2px（p＞0）上分别取纵坐标为y₁=-2，y₂=4的两点A、B，过A、B两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线l同时与抛物线和圆x²+（y+(1)/(2)）²=(1)/(5)相切，求抛物线方程．

Answer 1

由题意，A（(2)/(p)，-2），B（(8)/(p)，4），∴k_AB=p，
设平行于该割线的一条直线l：y=px+b，即px-y+b=0，
∴(|(1)/(2)+b|)/(√(p2+1))=(√(5))/(5)①，
y=px+b代入y²=2px，可得p²x²+（2pb-2p）x+b²=0，
∴△=（2pb-2p）²-4p²b²=0，
∴b=(1)/(2)，
代入①可得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．