自圆O外一点P引圆的两条切线PE,PF,E,F为切点,过P任意引圆的割线交圆O与A,B,交EF与C,求证2/PC=1/PA+1/PB

Question

自圆O外一点P引圆的两条切线PE,PF,E,F为切点,过P任意引圆的割线交圆O与A,B,交EF与C,求证2/PC=1/PA+1/PB

Answer 1

由圆的切割线定理,可得：
PE^=PF^=PA*PB
由圆的相交弦定理,可得：
CE*CF=AC*BC
在△PEF中
对EF上的点C使用斯特瓦尔特定理：
PE^*CF+PF^*CE=PC^*EF+CE*CF*EF
PE^*CF+PE^+CE=PC^*EF+AC*BC*EF
PE^*(CF+CE)=EF*(PC^+AC*BC)
PE^*EF=EF*(PC^+AC*BC)
PE^=PC^+AC*BC
PE^=PC^+(PC-PA)*(PB-PC)
PE^=PC^+(PB*PC+PA*PC-PA*PB-PC^)
PE^=PB*PC+PA*PC-PA*PB
PE^+PA*PB=PC*(PA+PB)
2PA*PB=PC*(PA+PB)
2/PC=(PA+PB)/(PA*PB)
2/PC=(1/PA)+(1/PB)