如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A，B，C，D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E，F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求

Question

如图，过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD ，分别交圆 O 于点 A ， B ， C ， D ，弦 AD 和 BC 交于点 Q ，割线 PEF 经过点 Q 交圆 O 于点 E ， F ，点 M 在 EF 上，且∠ BAD ＝∠ BMF .

(1)求证： PA · PB ＝ PM · PQ ；
(2)求证：∠ BMD ＝∠ BOD .

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)∵∠ BAD ＝∠ BMF ，
∴ A ， Q ， M ， B 四点共圆，
∴ PA · PB ＝ PM · PQ .
(2)∵ PA · PB ＝ PC · PD ，
∴ PC · PD ＝ PM · PQ ，
又∠ CPQ ＝∠ MPD ，
∴△ CPQ ∽△ MPD ，
∴∠ PCQ ＝∠ PMD ，则∠ DCB ＝∠ FMD ，
∵∠ BAD ＝∠ BCD ，
∴∠ BMD ＝∠ BMF ＋∠ DMF ＝2∠ BAD ，
又∠ BOD ＝2∠ BAD ，
∴∠ BMD ＝∠ BOD .