已知曲线S：y＝−23x3+x2+4x及点P（O，0），则过点P的曲线S的切线方程为．

Question

已知曲线S：y＝−(2)/(3)x3+x2+4x及点P（O，0），则过点P的曲线S的切线方程为______．

Answer 1

设曲线S：y＝−(2)/(3)x3+x2+4x与过点P（0，0）的切线相切于点A（x₀，−(2)/(3)x03+x02+4x0），
则切线的斜率 k=y′

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x＝x0

=-2x₀²+2x₀+4，
∴切线方程为y-（−(2)/(3)x03+x02+4x0）=（-2x₀²+2x₀+4）（x-x₀），
∵点P（0，0）在切线上，
∴(2)/(3)x03−x02−4x0=2x₀³-2x₀²-4x₀，即(4)/(3)x₀³-x₀²=0，
解得x₀=0或x₀=(3)/(4)，所以切线的斜率为：4或(35)/(8)
故所求的切线方程为：y=4x或y＝(35)/(8)x．
故答案为：y=4x或y＝(35)/(8)x．