已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x-mx-2f（x）（m∈R）有两个极值点，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；
（2）若函数g（x）=x-(m)/(x)-2f（x）（m∈R）有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=lnx的定义域是（0，+∞），f′（x）=(1)/(x)，
若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，
∴(1)/(x)=2，解得：x=(1)/(2)，y=f（x）=ln(1)/(2)=-ln2，
将（(1)/(2)，-ln2）代入y=2x+p，得：p=y-2x=-ln2-1；
（2）①函数g（x）=x-(m)/(x)-2lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=(x2-2x+m)/(x2)，
令g′（x）=0，得x²-2x+m=0，其判别式△=4-4m，
当△≤0，即m≥1时，x²-2x+m≥0，g′（x）≥0，
此时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
函数g（x）无极值点；
②当△>0，即m<1时，方程x²-2x+a=0的两根为x₁=1-√(1-m)，x₂=1+√(1-m)>1，
若m≤0，则x₁≤0，则x∈（0，x₂）时，g′（x）<0，x∈（x₂，+∞）时，g′（x）>0，
此时，g（x）在（0，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，
函数g（x）有1个极值点；
若m>0，则x₁>0，则x∈（0，x₁）时，g′（x）>0，
x∈（x₁，x₂）时，g′（x）<0，
x∈（x₂，+∞）时，g′（x）>0，
此时，g（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，
函数g（x）有2个极值点；
综上，0<m<1．