设函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝−12，求实数a，b的值；（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．

Question

设函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝−(1)/(2)，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

（1）函数f（x）=alnx-bx²的导数f'（x）=(a)/(x)−2bx，
又f（1）=-b，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-(1)/(2)，
所以f'（1）=0，f（1）=-(1)/(2)即a-2b=0，b=(1)/(2)⇒a=1，b=(1)/(2)，
故实数a，b的值为a=1，b=(1)/(2)．
（2）因为b=1，所以f（x）=alnx-x²（x＞0），f'（x）=(a)/(x)−2x，
①当a≤0时，因为x＞0，所以f'（x）＜0即f（x）在x＞0是减函数，所以函数无最大值；
②当a＞0时，f'（x）＞0得x2＜(a)/(2)⇒-√((a)/(2))＜x＜√((a)/(2))，但x＞0，所以增区间为（0，√((a)/(2))），
f'（x）＜0得x2＞(a)/(2)⇒x＞√((a)/(2))或x＜-

作业帮用户 2017-10-12

问题解析

（1）求出函数的导数f'（x），写出切点（1，-b），求出斜率f'（1），由切线方程得：f‘（1）=0且f（1）=-(1)/(2)，得到a，b的方程组，解出a，b．
（2）求出f’（x），再对a分a≤0，a＞0来讨论．a≤0时f'（x）＜0，得f（x）在x＞0上是减函数，无最大值；
当a＞0时，分别求出增区间和减区间，判断极值点，根据在开区间内，极值也是最值，从而得出结论．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：

本题考查了导数的综合运用：求在切点处的切线方程和求函数的单调区间和极值以及最值，是一道导数的综合题，同时也考查了分类讨论的重要数学思想，同学应当掌握．本题属于中档题．

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