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已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点．求证：（1）BD平分∠CBF；（2）AB•BF=AF•CD．
题目详情
已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点．求证：（1）BD平分∠CBF；（2）AB•BF=AF•CD．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，（2分）
∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，（4分）
又∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，即BD平分∠CBF；（6分）
（2）在△DBF和△BAF中，
∵∠3=∠1，∠F=∠F，
∴△DBF∽△BAF，（8分）
∴
＝
即AB•BF=AF•BD（10分）
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，（11分）
∴AB•BF=AF•CD．（12分）
证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，（2分）
∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，（4分）
又∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，即BD平分∠CBF；（6分）
（2）在△DBF和△BAF中，
∵∠3=∠1，∠F=∠F，
∴△DBF∽△BAF，（8分）
∴
| BD |
| AB |
| BF |
| AF |
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，（11分）
∴AB•BF=AF•CD．（12分）
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