已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0，从圆C外一点p向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，从圆C外一点p向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

如图所示
C：x²+y²+2x-4y+3=0化为（x+1）²+（y-2）²=2，
圆心C（-1，2），半径r=√(2)．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CM⊥PM，
∴|PM|=√(|PC|2-r2)=√((x+1)2+(y-2)2-2)．
∵|PM|=|PO|，
∴√(x2+y2)=√((x+1)2+(y-2)2-2)．
化为2x-4y+3=0．
∴|PM|²=x²+y²=x²+（(2x+3)/(4)）²
=(5)/(4)(x+(3)/(10))2+(9)/(16)-(9)/(80)
=(5)/(4)(x+(3)/(10))2+(9)/(20)，
当x=-(3)/(10)时，|PM|²取得最小值(9)/(20)，
即|PM|取得最小值(3√(5))/(10)．