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如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形,俯视图为正方形,左视图为直角三角形,尺寸如图所示).(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)若G为BC的中点,求证

题目详情
如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形,俯视图为正方形,左视图为直角三角形,尺寸如图所示).

(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)若G为BC的中点,求证:AE⊥PG.
▼优质解答
答案和解析
解(Ⅰ)由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,(2分)
PA⊥面ABCD,PA∥EB,且PA=4
2
,BE=2
2
,AB=AD=CD=CB=4,(4分)
∴VP-ABCD=
1
3
PAxSABCD=
1
3
×4
2
×4×4=
64
2
3
.(5分)
(Ⅱ)连BP,∵
EB
AB
=
BA
PA
=
1
2
,∠EBA=∠BAP=90°,(7分)
∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,(8分)
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE.(10分)
又∵BC⊥面APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥面PBG,∴AE⊥PG.(12分)