在边长为a的正方形内ABCD中，AE与以BC为直径的半圆相切于点F，交CD于E，求CF、FD的长．

Question

在边长为a的正方形内ABCD中，AE与以BC为直径的半圆相切于点F，交CD于E，求CF、FD的长．

Answer 1

作FM⊥BC于M，交AD于N，连结BF、CF、DF、OE，CF与OE交于H，如图，
∵AB和AF是⊙O的切线，
∴AF=AB=a，
∵EF和EC是⊙O的切线，
∴EF=EC，
设EC=x，则EF=x，DE=a-x，AE=a+x，
在Rt△AED中，∵AE²=AD²+DE²，
∴（a+x）²=a²+（a-x）²，
∴x=(1)/(4)a，即EC=(1)/(4)a，
在Rt△OEC中，OE=√(OC2+CE2)=√(((1)/(2)a)2+((1)/(4)a)2)=(√(5))/(4)a，
∵(1)/(2)CH•OE=(1)/(2)OC•CE，
∴CH=((1)/(2)a•(1)/(4)a)/((√(5))/(4)a)=(√(5))/(10)a，
∴CF=2CH=

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

作FM⊥BC于M，交AD于N，连结BF、CF、DF、OE，CF与OE交于H，根据切线长定理得AF=AB=a，EF=EC，设EC=x，则EF=x，DE=a-x，AE=a+x，在Rt△AED中，利用勾股定理得AE²=AD²+DE²，可得到EC=

(1)/(4)a，在Rt△OEC中，根据勾股定理计算得OE=(√(5))/(4)a，在利用面积法得(1)/(2)CH•OE=(1)/(2)OC•CE，可计算得CH=(√(5))/(10)a，利用垂径定理得CF=2CH=(√(5))/(5)a；在Rt△BCF中，根据勾股定理计算出BF=(2√(5))/(5)a，再利用面积法计算出FM=(2)/(5)a，在Rt△FMC中，计算出MC=(1)/(5)a，则DN=MC=(1)/(5)a，NF=MN-MF=(3)/(5)a，然后利用勾股定理计算DF=(√(10))/(5)a．

名师点评

本题考点：

切线的性质；正方形的性质．

考点点评：

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了正方形的性质和勾股定理．

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