如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB=2π3，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若CD=a，求ACB的长及其弦AB所围成的弓形ACB的面积．

Question

如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB=(2π)/(3)，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若CD=a，求

ACB

的长及其弦AB所围成的弓形ACB的面积．

Answer 1

圆心角∠AOB=(2π)/(3)，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，则∠OAD=(π)/(6)，
设半径为R，CD=a，则OD=R-a，有(OD)/(OA)=(1)/(2)=(R-a)/(R)，解得R=2a，从而OD=a，AD=(√(3))/(2)R=√(3)a，AB=2√(3)a．
故

ACB

的长l=α（圆心角弧度数）×r（半径）=(2π)/(3)×2a=(4aπ)/(3)．
故弓形ACB的面积=S_扇形AOB-S_△AOB=((2π)/(3)×π×R2)/(2π)-(1)/(2)×AB×OD=(4πa2)/(3)-(1)/(2)×2√(3)a×a=(4π-3√(3))/(3)a2．