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如图,在锐角θ内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与θ角的边相切,且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最小的半径r1=1,最大的半径r5=81.求θ.

题目详情
如图,在锐角θ内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与θ角的边相切,且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最小的半径r1=1,最大的半径r5=81.求θ.
▼优质解答
答案和解析
如图所示,A、B是两圆的圆心.
过A、B分别作AE、BD都垂直于DE.
∴BC=r5-r4,AB=r5+r4
∴AC∥DE,
∴∠CAB=
θ
2

∴sin
θ
2
=
BC
AB
=(r5-r4):(r5+r4).
∴(1+sin
θ
2
)r4=(1-sin
θ
2
)r5
同理(1+sin
θ
2
)r3=(1-sin
θ
2
)r4
同理可得,r1=(
1−sin
θ
2
1+sin
θ
2
)4•r5
(
1−sin
θ
2
1+sin
θ
2
)4=
1
81
1−sin
θ
2
1+sin
θ
2
1
3
⇒sin
θ
2
1
2

θ
2
=30°,θ=60°.