如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切，且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5．若最小的半径r1=1，最大的半径r5=81．求θ．

Question

如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切，且半径分别为r₁、r₂、r₃、r₄、r₅．若最小的半径r₁=1，最大的半径r₅=81．求θ．

Answer 1

如图所示，A、B是两圆的圆心．
过A、B分别作AE、BD都垂直于DE．
∴BC=r₅-r₄，AB=r₅+r₄，
∴AC∥DE，
∴∠CAB=(θ)/(2)，
∴sin(θ)/(2)=(BC)/(AB)=（r₅-r₄）：（r₅+r₄）．
∴（1+sin(θ)/(2)）r₄=（1-sin(θ)/(2)）r₅．
同理（1+sin(θ)/(2)）r₃=（1-sin(θ)/(2)）r₄，
同理可得，r1＝((1−sin(θ)/(2))/(1+sin(θ)/(2)))4•r5
∴((1−sin(θ)/(2))/(1+sin(θ)/(2)))4＝(1)/(81)⇒(1−sin(θ)/(2))/(1+sin(θ)/(2))＝(1)/(3)⇒sin(θ)/(2)＝(1)/(2)
∴(θ)/(2)=30°，θ=60°．