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如图,在锐角θ内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与θ角的边相切,且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最小的半径r1=1,最大的半径r5=81.求θ.
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如图,在锐角θ内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与θ角的边相切,且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最小的半径r1=1,最大的半径r5=81.求θ.


▼优质解答
答案和解析
如图所示,A、B是两圆的圆心.
过A、B分别作AE、BD都垂直于DE.
∴BC=r5-r4,AB=r5+r4,
∴AC∥DE,
∴∠CAB=
,
∴sin
=
=(r5-r4):(r5+r4).
∴(1+sin
)r4=(1-sin
)r5.
同理(1+sin
)r3=(1-sin
)r4,
同理可得,r1=(
)4•r5
∴(
)4=
⇒
=
⇒sin
=
∴
=30°,θ=60°.

过A、B分别作AE、BD都垂直于DE.
∴BC=r5-r4,AB=r5+r4,
∴AC∥DE,
∴∠CAB=
θ |
2 |
∴sin
θ |
2 |
BC |
AB |
∴(1+sin
θ |
2 |
θ |
2 |
同理(1+sin
θ |
2 |
θ |
2 |
同理可得,r1=(
1−sin
| ||
1+sin
|
∴(
1−sin
| ||
1+sin
|
1 |
81 |
1−sin
| ||
1+sin
|
1 |
3 |
θ |
2 |
1 |
2 |
∴
θ |
2 |
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