如图．AB为O的直径，CD为O的弦，且AB⊥CD于E，F为劣弧AD上一点，BF交CD于点C，过点F作O的切线，交CD的延长线于H．（1）求证：FH=GH；（2）若AB=2FH=10，tan∠FGH=2，求AG的长．

Question

如图．AB为 O的直径，CD为 O的弦，且AB⊥CD于E，F为劣弧AD上一点，BF交CD于点C，过点F作 O的切线，交CD的延长线于H．

（1）求证：FH=GH；
（2）若AB=2FH=10，tan∠FGH=2，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OF，如图1所示．

∵HF与 O相切于点F，
∴∠OFH=90°，
∴∠GFH=90°-∠OFB．
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠OBF．
∵AB⊥CD于E，
∴∠BEG=90°，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG=90°-∠OBF．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠GFH=∠BGE，
又∵∠BGE=∠FGH，
∴∠GFH=∠FGH，
∴FH=GH．
（2） 过H作HM⊥GF于点M，连接AF，如图2所示．

∵AB=2FH=10，tan∠FGH=2，
∴设GM=a，AF=b，
则HM=GF=2a，BF=2b，
由勾股定理得：GH=√(GM2+HM2)=√(5)a=5，AB=√(AF2+BF2)=√(5)b=10，
∴a=√(5)，b=2√(5)．
BG=BF-GF=2b-2a=2√(5)，
∵tan∠BGE=2，
∴cos∠BGE=(√(5))/(5)，
∴EG=BG•cos∠BGE=2，BG=EG•tan∠BGE=4．
在Rt△AEG中，AE=AB-BE=6，EG=2，
∴AG=√(AE2+EG2)=2√(10)．