已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为23，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，

Question

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为2√(3)，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（Ⅱ）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer 1

根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2＝22+(2√(3))2，（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为(2π)/(3)×2＝(4π)/(3)．（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设AP：y＝(t)/(6)(x+2)，（6分）
和圆x²+y²=4联立，得到

y＝(t)/(6)(x+2)

x2+y2＝4

，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有−2x1＝(4t2−144)/(t2+36)，x1＝(72−2t2)/(t2+36)，（8分）
代入直线方程y＝(t)/(6)(x+2)得，y1＝(t)/(6)((72−2t2)/(t2+36)+2)＝(24t)/(t2+36)．（9分）
同理，设BP：y＝(t)/(2)(x−2)，联立方程有

y＝(t)/(2)(x−2)

x2+y2＝4

，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的两个根，2x2＝(4t2−16)/(t2+4)，x2＝(2t2−8)/(t2+4)，
代入y＝(t)/(2)(x−2)得到y2＝(t)/(2)((2t2−8)/(t2+4)−2)＝(−8t)/(t2+4)．（11分）
若x₁=1，则t²=12，此时x2＝(2t2−8)/(t2+4)＝1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有kMQ＝(y1−0)/(x1−1)＝((24t)/(t2+36))/((72−2t2)/(t2+36)−1)＝(8t)/(12−t2)，kNQ＝(y2−0)/(x2−1)＝((−8t)/(t2+4))/((2t2−8)/(t2+4)−1)＝(−8t)/(t2−12)（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）