如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)当BC＝4时，求劣弧的长．

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.

(1)求∠ABC的度数；
(2)求证：AE是⊙O的切线；
(3)当BC＝4时，求劣弧 的长．

Answer 1

（1）60°   （2）见解析   （3） π

(1)∵∠ABC与∠D都是 所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，
即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．
(3)如图，连接OC.

∵OB＝OC，∠ABC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝4，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°.
∴ 的长度为＝ ＝ π.