如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点。（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度。

Question

如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点。

（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度。

Answer 1

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°；
（2）在PA上截取PD=PC，
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠ADC=120°，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB，
∴PA=PB+PC；
（3）∵△CDM∽△ACM，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，
设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，
∵△BPM∽△ACM，
∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x= （舍去负号），则x= ，
∴CM= 。