已知A、B分别为曲线C：(a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连接AP与曲线C交于点M．(1)若曲线C为圆，M为圆弧的三等分点，试求点P的坐标；(2)设N是以BP

Question

已知A、B分别为曲线C：(a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连接AP与曲线C交于点M．
(1)若曲线C为圆，M为圆弧的三等分点，试求点P的坐标；
(2)设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求a的值．____

Answer 1

【分析】(1)若曲线C为圆，根据M为圆弧的三等分点，可求出M点坐标，则直线AM方程就可求出，在与x=1联立，就可求出P点坐标．
(2)先设出M(x₀，y₀)，可求出直线AM方程，再于直线x=a联立，即可得P点坐标，进而求出直线OP，BM方程，因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，且O、N、P三点共线可得OP⊥BM，得到两直线斜率的关系，即可解出a的值．

(1)当曲线C为圆时，a=1．
由M为圆弧的三等分点，知∠BOM=60°或120°
当∠BOM=60°时，在ΔPAB中，∠PAB=60°，AB=2，PB=ABtan30°=
∴P(1，)
同理，当∠BOM=120°时，P(1，)；
(2)∵A(-a，0)，B(a，0)，设M(x₀，y₀)
则l_AM：y=(x+a)，
∴P(a，)
l_OP：y=x，l_BM=(x-a)
∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点．
∴OP⊥BM
∴k_OP•k_BM=-1
即=-1，得，2y₀²=a²-x₀²，即①
又∵点M在曲线C上，
∴②
由①②解得a=

【点评】本题考察了直线与圆，与椭圆的位置关系，做题时应细心，避免答错．