如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置，AB是半径为R=2m的14圆周轨道，CDO是半径为r=1m的半圆轨道，直径OC竖直，最高点O处固定一个竖直弹性挡板．D为CDO轨

Question

如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置，AB是半径为R=2m的(1)/(4)圆周轨道，CDO是半径为r=1m的半圆轨道，直径OC竖直，最高点O处固定一个竖直弹性挡板．D为CDO轨道的中央点，BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接．已知BC段水平轨道长L=2m，现让一个质量为m=1kg的可视为质点的小物块P从A点的正上方距水平线OA高H处自由下落，进入圆弧轨道，小物块与BC段水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.4．（小物块与弹性挡板碰撞时，时间极短，且碰后速度与碰前等大反向，取g=10m/s²）

（1）当H=1.4m时，问此物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小．
（2）经计算知，当H=1.4m时，小物块整个运动过程始终不脱离轨道
①求静止前物块在水平轨道经过的路程．
②试通过计算判断此物块能否会第三次经过轨道上D点，如果能，求物块第三次到达D点时的速度；如果不能，求小物块最后一次冲上CDO轨道时能到达的最高点与D点间的高度差．
（3）为使小物块仅仅与弹性板碰撞二次，且小物块不会脱离CDO轨道，问H的取值范围．

Answer 1

（1）设物块第一次到达D的速度为v_D．
P到D点的过程，对物块由动能定理：
  mg（H+r）-μmgL=(1)/(2)mv_D²
小物块在D点由牛顿第二定律得：F_N=m(v2D)/(r)
联立解得：F_N=32 N
由牛顿第三定律得：物块P第一次到达D点时对轨道的压力 F_压=F_N=32N
（2）①设此物块静止前在水平轨道经过的路程为s．
对全过程列动能定理：
  mg（H+R）-μmgs=0
解得：s=8.5 m
②设第三次到达D点的动能为E_k，对之前的过程由动能定理得：
  mg（H+r）-3μgmL=E_k
代入解得：E_k=0
所以小物块第三次到达D点时的速度为0．
（3）为使小物块与弹性板碰撞二次，须满足：
  mgH-3μmgL≥(1)/(2)mv₀²
代入解得：H≥2.9 m
为使小物块仅仅与弹性板碰撞二次，且小球不会脱离CDO轨道
须满足：mg（H+r）-5μmgL≤0
代入解得：H≤3.0 m
故：2.9 m≤H≤3.0 m
答：
（1）当H=1.4m时，此物体第一次到达D点对轨道的压力大小为32N．
（2）①静止前球在水平轨道经过的路程为8.5m．②小物块第三次到达D点时的速度为0．
（3）H的取值范围为：2.9m≤H≤3.0m．