如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的14圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m．下圆

Question

如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的(1)/(4)圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m．下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．有一质量为0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，求：
（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离；
（2）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求小球过圆弧A点时对轨道的压力；
（3）如果在D点右侧平滑连接一半径R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围（计算结果可以用根式表示）．

Answer 1

（1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得：
   h=(1)/(2)gt2
据题 h=2R+L=2×0.3m+0.2m=0.8m
代入数据解得 t=0.4s
所以落地点与D点的水平距离 x=v_Dt=5×0.4m=2m； 
（2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得：
   mgh+(1)/(2)mv_D²=(1)/(2)mv_A²
在A点，由牛顿第二定律可得：
   N-mg=m(v2A)/(R)；
联立解得 N=94N
由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 N′=N=94N
（3）计论一：
小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：
   mg（R+L）=(1)/(2)mv₁²
得 v₁=√(10)m/s
讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有
   mg=m(v2)/(R)
从A到D由机械能守恒定律可得：
有：mgh+(1)/(2)mv²=(1)/(2)mv₂²
得 v₂=2√(5)m/s
所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v₁≤√(10)m/s或v₂≥2 √(5)m/s
答：
（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，落地点与D点的水平距离为2m
（2）如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出，小球过圆弧A点时对轨道的压力是94N．
（3）要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围是v₁≤√(10)m/s或v₂≥2 √(5)m/s．