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如图甲所示,弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的14圆弧轨道,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)轨道,分别与上下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L为0.2m.下圆

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如图甲所示,弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的
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圆弧轨道,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)轨道,分别与上下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L为0.2m.下圆弧轨道与水平轨道相切,其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点,整个轨道固定在竖直平面内.有一质量为0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧,不计小球运动中的一切阻力,求:
(1)如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出,求落地点与D点的水平距离;
(2)如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出,求小球过圆弧A点时对轨道的压力;
(3)如果在D点右侧平滑连接一半径R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF,如图乙所示,要使小球不脱离轨道运动,求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围(计算结果可以用根式表示).
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答案和解析
(1)小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动,由平抛运动规律可得:
   h=
1
2
gt2
据题 h=2R+L=2×0.3m+0.2m=0.8m
代入数据解得 t=0.4s
所以落地点与D点的水平距离 x=vDt=5×0.4m=2m; 
(2)由A到D的过程,由机械能守恒定律可得:
   mgh+
1
2
mvD2=
1
2
mvA2
在A点,由牛顿第二定律可得:
   N-mg=m
v
2
A
R

联立解得 N=94N
由牛顿第三定律知,小球过圆弧A点时对轨道的压力 N′=N=94N
(3)计论一:
小球进入轨道最高运动到C点,之后原路返回,由机械能守恒定律,有:
   mg(R+L)=
1
2
mv12
得 v1=
10
m/s
讨论二:小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D,之后沿DEF运动而不脱离轨道,在D点,有
   mg=m
v2
R

从A到D由机械能守恒定律可得:
有:mgh+
1
2
mv2=
1
2
mv22
得 v2=2
5
m/s
所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道,初速度大小的范围为:v1
10
m/s或v2≥2
5
m/s
答:
(1)如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出,落地点与D点的水平距离为2m
(2)如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出,小球过圆弧A点时对轨道的压力是94N.
(3)要使小球在运动过程中能不脱离轨道,初速度大小的范围是v1
10
m/s或v2≥2
5
m/s.
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