如图所示，P是固定在水平面上的圆弧轨道，O是圆弧的圆心，C为圆弧轨道最高点，D为圆弧轨道最低点，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m、带电量为+q的小球，恰能从圆弧轨道的左端A点

Question

如图所示，P是固定在水平面上的圆弧轨道，O是圆弧的圆心，C为圆弧轨道最高点，D为圆弧轨道最低点，从高台边B点以速度v₀水平飞出质量为m、带电量为+q的小球，恰能从圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入，θ是OA与竖直方向的夹角，圆弧轨道的竖直直径COD右边存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，已知：m=1kg，v₀=3m/s，q=1.6×10^-4C，E=10⁴V/m，θ=53°，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小球恰能到达最高点C，不计空气阻力和所有摩擦．求：

（1）A、B两点的高度差；
（2）圆弧轨道的半径R大小．

Answer 1

（1）小球从B到A做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．据题知，小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
小球到达A点的速度为 v_A=(v0)/(cosθ)=(3)/(cos53°)=5m/s
竖直分速度为 v_y=v₀tanθ=4m/s
A、B两点的高度差 h=(v2y)/(2g)=(42)/(20)m=0.8m
（2）小球从A点到D点再到C点的过程，由动能定理得：
  mgR（1-cosθ）-2mgR-2qER=(1)/(2)m

v

2 C

-(1)/(2)m

v

2 A

 
在C点，由重力和电场力的合力充当向心力，由牛顿第二定律得
  mg+qE=m(v2C)/(R)
联立代入数据，解得 R=0.5m
答：
（1）A、B两点的高度差是0.8m；
（2）圆弧轨道的半径R大小是0.5m．