设A是y=x²-3x所确定的抛物线上位于x轴下方,且在对称轴左侧的一个动点,过点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,在作AB⊥x轴于B,DC⊥x与C.（1）当BC=1时,求矩形ABCD的周长（2）试问矩形ABCD的周

Question

设A是y=x²-3x所确定的抛物线上位于x轴下方,且在对称轴左侧的一个动点,过点A作x轴的平行线,
交抛物线于另一点D,在作AB⊥x轴于B,DC⊥x与C.（1）当BC=1时,求矩形ABCD的周长（2）试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出最大值,并指出此时点A的坐标,如果不存在,请说明理由

Answer 1

略抛物线y=x²-3x交轴于（0,0）,（3,0）,顶点为P（1.5,﹣2.25）,对称轴为x＝1.5；点A(a,b）在抛物线OP段(不含端点),即0＜a＜1.5;抛物线y=x²-3x和矩形ABCD都关于直线x＝1.5对称（这在下面的解题中很重要）；
⑴点B和C关于直线x＝1.5对称且BC＝1,∴a=1.5－BC/2＝1,点A的纵坐标为b＝12－3×1＝﹣2,∴矩形ABCD的周长＝﹙1＋︳-2︳)×2＝6
⑵点A（a,a2-3a）,由上0＜a＜1.5,a2-3a＜0；矩形ABCD的周长＝(︳a－1.5︳×2＋︳a2-3a︳)×2＝[﹙1.5－a﹚×2＋3a－a2]×2＝[﹣﹙a2－a﹚＋3]×2＝[﹣﹙a－0.5﹚2＋3.25]×2＝－2﹙a－0.5﹚2＋6.5≦6.5,矩形ABCD的周长的最大值为6.5,此时点A(0.5,﹣1.25）.
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