定长为L的线段AB的两端点都在双曲线的右支上,求中点M的横坐标的最小值L>2b^2/a

Question

定长为L的线段AB的两端点都在双曲线的右支上,求中点M的横坐标的最小值
L>2b^2/a

Answer 1

设二个交点是A,B,则AB=L,设A到右准线的距离是d1,B到右准线的距离是d2.
当L过右焦点时,横坐标最小.
右准线x=a^2/c,d1=AF/e,d2=BF/e,d1+d2=(AF+BF)/e=L/e.
设M的横坐标是x,则有:x-a^2/c=(d1+d2)/2
所以x=a^2/c+L/(2e)=a^2/c+aL/(2c)=(2a^2+aL)/(2c).