已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始

Question

已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=20与y轴交于O，A两点，圆C₂过O，A两点，且直线C₂O与圆C₁相切；

（1）求圆C₂的方程；
（2）若圆C₂上一动点M，直线MO与圆C₁的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由（x-4）²+（y-2）²=20，令x=0，解得y=0或4．
∵圆C₂过O，A两点，∴可设圆C₂的圆心C₁（a，2）．
直线C₂O的方程为：y=(1)/(2)x，即x-2y=0．
∵直线C₂O与圆C₁相切，∴(|a-4|)/(√(5))=√(a2+4)，解得a=-1，
∴圆C₂的方程为：（x+1）²+（y-2）²=(√(5))2，化为：x²+y²+2x-4y=0．
（2）存在，且为P（3，4）．
设直线OM的方程为：y=kx．
代入圆C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2-4k）x=0．
x_M=(4k-2)/(1+k2)，y_M=(4k2-2k)/(1+k2)．
代入圆C₁的方程可得：（1+k²）x²-（8+4k）x=0．
x_N=(8+4k)/(1+k2)，y_N=(4k2+8k)/(1+k2)．
设P（x，y），线段MN的中点E((4k+3)/(1+k2)，(4k2+3k)/(1+k2))．
则((4k2+3k)/(1+k2)-y)/((4k+3)/(1+k2)-x)×k=-1，
化为：k（4-y）+（3-x）=0，
令4-y=3-x=0，解得x=3，y=4．
∴P（3，4）与k无关系．
∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．