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已知圆C1:(x-4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O与圆C1相切;(1)求圆C2的方程;(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始

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已知圆C1:(x-4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O与圆C1相切;
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(1)求圆C2的方程;
(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在求出定点坐标,若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由(x-4)2+(y-2)2=20,令x=0,解得y=0或4.
∵圆C2过O,A两点,∴可设圆C2的圆心C1(a,2).
直线C2O的方程为:y=
1
2
x,即x-2y=0.
∵直线C2O与圆C1相切,∴
|a-4|
5
=
a2+4
,解得a=-1,
∴圆C2的方程为:(x+1)2+(y-2)2=(
5
)2,化为:x2+y2+2x-4y=0.
(2)存在,且为P(3,4).
设直线OM的方程为:y=kx.
代入圆C2的方程可得:(1+k2)x2+(2-4k)x=0.
xM=
4k-2
1+k2
,yM=
4k2-2k
1+k2

代入圆C1的方程可得:(1+k2)x2-(8+4k)x=0.
xN=
8+4k
1+k2
,yN=
4k2+8k
1+k2

设P(x,y),线段MN的中点E(
4k+3
1+k2
4k2+3k
1+k2
).
4k2+3k
1+k2
-y
4k+3
1+k2
-x
×k=-1,
化为:k(4-y)+(3-x)=0,
令4-y=3-x=0,解得x=3,y=4.
∴P(3,4)与k无关系.
∴在平面内是存在定点P(3,4)使得PM=PN始终成立.
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