如图，△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°．（I）求二面角P-BC-A的正切值；（II）求二面角C-PB-A的正切值．

Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°．
（I）求二面角P-BC-A的正切值；
（II）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

（I）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=5，
∵平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，
∴平面APB⊥平面ABC，
∵∠BAC=90°，∴AC⊥平面APB，
∴∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，
∵二面角P-AC-B的大小为45°，
∴∠PAB=45°，
∴PM=AM=(1)/(2)AB=2，
作MD⊥BC，交BC于D，连接PD，
则∠PDM是二面角P-BC-A的平面角，
∵△BDM∽△BAC，∴(BM)/(BC)＝(DM)/(AC)，
∴DM＝(BM•AC)/(BC)=(2×3)/(5)=(6)/(5)，
∴tan∠PDM=(PM)/(DM)=(2)/((6)/(5))=(5)/(3)，
故二面角P-BC-A的正切值为(5)/(3)．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，PM=2，AM=2，
∴C（3，0，0），B（0，4，0），P（0，2，2），A（0，0，0），
∴

CP

＝(−3，2，2)，

CB

＝(−3，4，0)，

AP

＝(0，2，2)，

AB

＝(0，4，0)，
设平面CPB的法向量为

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（I）由题设知BC=5，平面APB⊥平面ABC，∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的正切值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，合理地化立体问题为平面问题，注意向量法的合理运用．

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